Mathématiques

Trois manières de démontrer la somme des K premiers entiers naturels

La somme des k premiers nombres entiers naturels est un résultat fondamental à retenir puisqu’il est constamment utilisé dans le calcul de sommes, de séries et de suites. On peut exprimer cette somme de la façon suivante :

Soit n un entier naturel non nul,

Evidemment, cette notation en pointillés n’est pas utilisable pour de quelconques calculs, nous devons donc l’exprimer sous forme factorisée. Il existe trois façons de démontrer ce résultat. La plus simple utilise une récurrence sur n et vise à démontrer que la relation est juste. Cela nécessite donc de connaître ce résultat à l’avance. Les deux autres méthodes visent quant à elles à trouver le résultat. Nous allons détailler ces trois raisonnements dans un ordre de difficulté croissant.

I) Raisonnement par récurrence sur n

On cherche à démontrer la propriété Sn suivante :

pour tout entier naturel non nul n on a :

Vérifions d’abord que cette propriété est vraie pour son premier terme.
Pour n=1, on constate :

.

Donc notre propriété est vraie au premier rang.

Maintenant, il faut prouver que Sn est héréditaire, c’est-à-dire que si elle est vraie au rang n, elle est aussi vraie au rang suivant n+1.

Soit n un entier naturel non nul, supposons que notre propriété est vraie au rang n. Exprimons Sn+1 :

d’après l’hypothèse de réccurence.

Ce qui donne après une mise au même dénominateur et une factorisation par n :

Ainsi, nous venons de démontrer que notre propriété est vraie au rang n+1.

D’après les trois points ci-dessus, Sn est vraie à son premier rang et est héréditaire donc Sn est vraie pour tout n ꞓ N*. Quod erat demonstrandum !

Si l’on vous demande de démontrer ce résultat, maintenant vous saurez vous débrouiller, en revanche il vous faut encore apprendre comment trouver ce résultat lorsque l’on ne vous indique pas la réponse du calcul.

II) Raisonnement direct

La légende raconte que cette démonstration fut utilisée par le jeune Carl Friedrich Gauss, surnommé le Prince des Mathématiques, lorsqu’il n’était encore qu’en école primaire. C’est une démonstration très intuitive et donc la préférée des élèves, laissez-moi vous conter l’anecdote. Elève prodige, le jeune Gauss agaçait son professeur car il terminait toujours en avance ses exercices d’arithmétique. Voulant un peu de répit, le maître lui lança donc le défi de calculer la somme des entiers de 1 jusqu’à 100. Dur labeur pour un écolier, mais pas pour Gauss, un gosse un tantinet malin ! Pour aller plus vite et éviter de se casser la tête en calculant terme après terme la somme comme le ferais n’importe qui (comme VOUS le feriez certainement si vous n’aviez pas lue cette article), il décide de regrouper par paquet de deux les termes aux extrémités de la suite et de diviser le tout par deux. Comme ceci :

Et oui, chaque paquet étant compté deux fois il ne faut pas oublier de les retirer ensuite. Bien vous avez là le fameux pour n = 100 écrit de façon développée. Bien entendu, cet exemple ne peut servir de démonstration car il ne s’agit que d’un cas pour une valeur de n précise, cela ne sert que d’illustration pour votre compréhension et aussi votre culture mathématique ! Pour la véritable preuve, il faut montrer que cela est vrai pour tout entier naturel non nul, et cela se fait très aisément en suivant le même raisonnement que le petit Gauss.

Soit Sn un entier naturel non nul, on pose Sn la somme définie par :

qui peut également s’écrire

En additionnant ces deux sommes on obtient donc :

Combien de paquet contient cette somme ? Combien vaut la valeur à l’intérieur de chaque paquet ? Posez-vous un instant pour y réfléchir…

Et bien, les nombres s’étendent de 1 jusqu’à n, il y a donc n paquets. En calculant l’intérieur des parenthèses on se rend compte que chacun d’eux vaut en réalité (n+1). Il y a donc n paquets de (n+1). On l’interprète ainsi dans l’équation :

Compris ?

III) Résolution polynomiale

Cette méthode n’est pas du tout intuitive, d’ailleurs les élèves de terminale s’en passeront volontiers. En revanche si vous êtes dans les études supérieures je ne vous recommande pas de faire l’impasse dessus. En effet, cette ultime technique est également valable pour K élevé à n’importe-quelle puissance entière (cf partie IV). Néanmoins, cela est accessible aux élèves, même moyens, de terminale alors ne vous privez pas, les maths sont à consommer sans modération !

On considère les deux sommes suivantes :

 est la somme que l’on cherche à calculer et  est là pour nous aider. Nous allons devoir l’exprimer  de deux manières différentes.

Par télescopage, on obtient :

et par développement des sommes on a :

On procède ensuite à une simple équation réutilisant les deux nouvelles reformulations de  :

et nous avons trouvé ce que nous voulions et on est content !

Comme dit précédemment cette technique est réutilisable pour tout K élevé à une puissance p quelconque, il suffira simplement d’exprimer  avec des puissances p+1. Par exemple, pour calculer la somme suivante :

La somme  associée est :

Vous comprenez ? N’hésitez pas à vous entraîner avec diverses valeurs de p !

Voilà, j’espère que cela vous a été utile, posez vos questions et remarques en commentaires si quelque chose n’est pas compris, j’essayerai d’y répondre le plus rapidement possible.

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