Mathématiques

Trois manières de démontrer la somme des K premiers entiers naturels non nuls

La somme des k premiers nombres entiers naturels est un résultat fondamental à retenir puisqu’il est constamment utilisé dans le calcul de sommes, de séries et de suites. Même si l’on s’en souvient facilement, il est toujours utile de savoir le démontrer. De toute évidence, vous n’y échapperais pas durant votre scolarité si vous suivez une filière scientifique !

La somme des k premiers entiers naturels non nul est l’addition des entiers consécutifs s’étendant de un jusqu’à où l’on souhaite s’arrêter. Ma façon de la nommée n’est peut-être pas la plus compréhensible car certains pense que je parles de nombres premiers. Ce n’est pas du tout le cas, cela est juste ma manière de préciser qu’on part du tout premier entier naturel non nul, à savoir un et que l’on prend ensuite l’entier voisin jusqu’au n-ième terme. Par exemple les 5 premiers entiers naturels non nul sont 1,2,3,4 et 5. Ainsi mathématiquement on peut la définir ainsi :

Soit n un entier naturel non nul,

Evidemment, cette notation en pointillés n’est pas utilisable pour de quelconques calculs, nous devons donc l’exprimer sous forme factorisée. Il existe trois façons de démontrer ce résultat. La plus simple utilise une récurrence sur n et vise à démontrer que la relation suivante est juste :


Or cela nécessite de connaître la solution à l’avance. Les deux autres méthodes visent quant à elles à trouver le résultat par raisonnement. Nous allons détailler ces trois raisonnements dans un ordre de difficulté croissant.

I) Raisonnement par récurrence sur n

On cherche à démontrer la propriété Sn suivante :

pour tout entier naturel non nul n on a :

Vérifions d’abord que cette propriété est vraie pour son premier terme.
Pour n=1, on constate :

Donc notre propriété est vraie au premier rang.

Maintenant, il faut prouver que Sn est héréditaire, c’est-à-dire que si elle est vraie au rang n, elle est aussi vraie au rang suivant n+1.

Soit n un entier naturel non nul, supposons que notre propriété est vraie au rang n. Exprimons Sn+1 :

Puis on utilise l’hypothèse de réccurence :

Ce qui donne après une mise au même dénominateur et une factorisation par n :

Ainsi, nous venons de démontrer que notre propriété est vraie au rang n+1.

D’après les trois points ci-dessus, Sn est vraie à son premier rang et est héréditaire donc Sn est vraie pour tout n ꞓ N*. Quod erat demonstrandum !

Si l’on vous demande de démontrer cette solution, maintenant vous saurez vous débrouiller, en revanche il vous faut encore apprendre comment trouver par vous même ce résultat sans qu’on ne vous indique pas la réponse.

II) Sommation par paquet

La légende raconte que cette démonstration fut utilisée par le jeune Carl Friedrich Gauss, surnommé le Prince des Mathématiques, lorsqu’il n’était encore qu’en école primaire. C’est une démonstration très intuitive et donc la préférée des élèves, laissez-moi vous conter l’anecdote. Elève prodige, le jeune Gauss agaçait son professeur car il terminait toujours en avance ses exercices d’arithmétique. Voulant un peu de répit, le maître lui lança donc le défi de calculer la somme des entiers de 1 jusqu’à 100. Dur labeur pour un écolier, mais pas pour Gauss, un gosse un tantinet plus malin ! Pour aller plus vite et éviter de se casser la tête en calculant terme après terme comme le ferais n’importe qui (comme VOUS le feriez certainement si vous n’aviez pas lue cette article), il décide de regrouper par paquet de deux les termes aux extrémités de la suite et de diviser le tout par deux. Comme ceci :

Et oui, chaque paquet étant comptés deux fois il ne faut pas oublier de les retirer ensuite. Bien vous avez là le fameux n(n+1)/2 pour n = 100 écrit sous sa forme développée. Bien entendu, cet exemple ne peut servir de démonstration car il ne s’agit que d’un cas pour une valeur de n précise, cela ne sert que d’illustration pour votre compréhension et aussi votre culture mathématique ! Pour la véritable preuve, il faut montrer que cela est vrai pour tout entier naturel non nul, et cela se fait très aisément en suivant le même raisonnement que le petit Gauss.

Soit n un entier naturel non nul, on pose Sn la somme définie par :

qui peut également s’écrire dans le sens inverse :

En additionnant ces deux sommes on obtient donc :

Combien de paquet contient cette somme ? Que vaut la valeur à l’intérieur de chaque paquet ? Posez-vous un instant pour y réfléchir

Et bien, les nombres s’étendent de 1 jusqu’à n, il y a donc n paquets. En calculant l’intérieur des parenthèses on se rend compte que chacun d’eux vaut (n+1). Il y a donc n paquets de (n+1). On l’interprète ainsi dans l’équation :

Compris ?

III) Résolution polynomiale

Cette méthode n’est pas du tout intuitive, d’ailleurs les élèves de terminale s’en passeront volontiers. En revanche si vous êtes dans les études supérieures je ne vous recommande pas de faire l’impasse dessus. En effet, cette ultime technique est également valable pour K élevé à n’importe-quelle puissance entière. Néanmoins, cela est accessible aux élèves, même moyens, de terminale alors ne vous privez pas, les maths sont à consommer sans modération !

On cherche à calculer la somme suivante :

Le choix de notation de la somme n’est pas anodine, Tn(p) correspond à la somme de n entier naturel élevé à la puissance p. Peut importe la valeur de p, pour trouver le résultat d’une telle somme on a besoin de l’expression de Tn+1(p+1). Ici nous utiliserons donc :

L’objectif est d’exprimer Tn(1) en fonction de Tn+1(2), ceci en manipulant ce dernier afin de résoudre une équation nous donnant la solution de Tn(1).

Premièrement, un décalage d’indice est nécessaire afin de d’effectuer des opérations plus facilement entre Tn(1) et Tn+1(2) :

Ensuite il va falloir exprimer Tn+1(2) de manière à faire apparaître Tn(1). Ceci se fait très naturellement en dévellopant le terme grâce à l’identité remarquable pour un carré de somme, et nous allons avoir besoin d’une forme un peu modifié de celle-ci :

En passant à la somme on obtient le développement suivant  :

Nous avons donc Tn+1(2) = 2Tn(1) + n, mais cette forme ne va pas être facile à manipuler pour calculer la valeur de notre somme mystère. Il va donc falloir exprimer Tn+1(2) avec des termes sur lesquelles il est facile d‘effectuer des opérations avec ceux du second membre de l’équation. C’est-à-dire des puissances et multiples de n ainsi que des nombres simples. En utilisant le téléscopage, cela se trouve facilement. On par de la somme suivante :

Vous pouvez constatez que l’on soustrait deux carré successifs. Si vous ne connaissez pas encore la téléscopie, je vous invite à réfléchir sur qu’est-ce qui restera d’une telle soustraction. Si vous avez du mal à visualiser, calculez les résultats pour k = 1 jusqu’à 4 ou 5. Je donne la réponse au paragraphe suivant.

Il ne restera que le dernier moins le premier terme de la somme, car à chaque fois le terme (k+1)^2 s’annule avec le k^2 du paquet suivant, sauf pour le tout premier et le tout dernier paquet !  On a aboutit ainsi à l’expression suivante :

Heureusement pour nous, cette expression ne comporte plus que des puissance de n et des entiers, on va pouvoir l’utiliser dans une simple équation réutilisant les deux nouvelles reformulations de Tn+1(2) pour déterminer ce que nous cherchons depuis le début :

Si on est bien rigoureux, on n’oublie pas de regrouper les facteurs communs afin de rendre cela le plus simple possible :

et nous avons trouvé ce que nous voulions et on est content !

Comme dit précédemment cette technique est réutilisable pour tout K élevé à une puissance p quelconque, alors n’hésitez pas à vous entraîner avec diverses valeurs de p !

Voilà, j’espère que cela vous a été utile, posez vos questions et remarques en commentaires si quelque chose n’est pas compris, j’essayerai d’y répondre le plus rapidement possible.


Pour poster des équations en commentaire je vous suggère ce convertisseur en ligne Latex vers image : Sciweavers.

Sources : mes cours de terminale S et TDs de Licence 1 maths-info, merci à mes professeurs !

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